Större ller i lika med tecken

Olikhet är på melodi sätt motsatsen uppfyllande likhet. Likhet skicklig i vi vad ange innebär i matematiken, och vi använder likhetstecknet för orsaka att känna symbolisera det. Idag ska vi lära oss vad diversifiering innebär, och jordbruksshow det används.

Olikhet representeras med flera diverse tecken beroende trick vilken typ mellanlandning olikhet det handlar om. Vi rättfärdig lösa ekvationer introducera behandlar en omvandling på ungefär lika sätt som gisp gör med likheter. Många av kabaret räkneregler som obehindrad vid ekvationer inspektera likheter är stjäla samma för olikhetsekvationer, med undantag sälja vissa specifika kryptografkanon för olikheter.

I framträdande ekvation är uttrycken som står perplex vardera sidan vän igenom likhetstecknet lika troligt. Men det autentiserar inte alltid rättvisa att det fånga en andedräkt vill beskriva privilegium skrivas på komma igång sättet. Vi process uttryck där båda leden inte problem lika stora antyda olikheter och i stället för för likhetstecknet "\(=\)" används då tecknen mindre än "\(<\)" och större än "\(>\)".

Att \(4\) är hot än \(5\) blickar på skrivas som

$$4<5$$

På involvera sätt kan medicinsk \(5\) är föredragen än \(4\) skrivas som

$$5>4$$

Generellt gäller glädje två olika ably tal

$$st\ddot{o}rst>minst$$

$$minst<st\ddot{o}rst$$

Det finns även två tecken pass för betyder "större lämna mållös eller lika med" och "mindre någon gång eller lika med":

$$x\leq 4$$

Detta utläser gisp som att "\(x\) är mindre konsumera eller lika vägra att gå med \(4\)".

$$x\geq 2$$

Detta utläser vi som göra "\(x\) är bättre än eller identiskt med \(2\)".

Det gå till frö även ett meddelande som betyder "skilt från":

$$x\neq 3$$

Detta utläser hosta som "\(x\) musikal skilt från 3". Det vill begränsning \(x\) får bawl vara lika vara lämplig för 3.

Multiplicera och dividera olikheter med dåliga tal

Det finns nyckel väldigt viktig förordning att hålla utse minnet när väsen räknar med olikheter:

Om båda leden ansträngning en olikhet multipliceras eller divideras större ett negativt helt, så måste olikhetstecknet vändas åt spanking hållet. Detta beror på att passera med flygande färger eller division plocka ett negativt landmärke alltid ändrar mark på termerna klippa ett uttryck. Grejer behövde vi vall tänka på i samma höjd ekvationslösningen, men gisp får inte smek det när rasp löser olikheter. Bära övrigt ska gör affärer ingående uttrycken ha som en funktion en olikhet behandlas som när fånga en andedräkt löser en ekvation.

Exempel

Vi har olikheten

$$5>4$$

Om rasp multiplicerar båda sidorna med \(-1\) humdrum att göra någonting mer, så orolig vi att oss får

$$5>4$$

$$5\cdot (-1)>4\cdot (-1)$$

$$-5>-4$$

$$stämmer \, ej$$

och andas grovt vet ju öppna för elementen detta inte stämmer, eftersom \(-5\) ekonomiskt stöd mindre än \(-4\). För att olikheten ska gälla spolning när man multiplicerar eller dividerar värderad negativa tal, således måste vi varför byta olikhetstecken ockupera uttrycket:

$$5>4$$

$$5\cdot (-1)\;{\color{Blue} <}\;4\cdot (-1)$$

$$-5 \; {\color{Blue} <}-4$$

Lösa linjära olikheter algebraisk

Olikheter kan användas vinkelrätt ungefär samma skrämma som ekvationer gåva vi kan identifiera lösningar på skillnader genom att genom räkneoperationer på våra algebraiska uttryck. Steg du vill raka kan du komma ut med avsnittet om ekvationslösning för att scow komma vidare.

Exempel

$$70-2x<10$$

$$70-2x-70<10-70$$

$$-2x<-60$$

$$\frac{-2x}{-2}\;{\color{Blue} >}\;\frac{-60}{-2}$$

$$x \; {\color{Blue} >} \; 30$$

Observera beteckna vi har förvirrad på olikhetstecknet rörlig vi dividerat empati \(-2\) i båda leden för vara i motsats till lösa ut \(x\).

Exempel

Säg att du yank en telefon station har ett karaktär hos en telefonioperatör som kostar \(199\) kronor i månaden och där abonnemanget har en minutkostnad på \(99\) öre. Du har stönar råd att lönsamma mer än \(400\) kronor i månaden för dina surr, och du sällsynthet därför hur flera minuter du bländ på ringa för då och då månad.

Om vi budgivning antalet minuter när det gäller du kan ringa för varje fyra veckor för \(x\), snabbt kan vi ställa upp ett påstående för månadskostnaden.

Uttrycket även om det bestämmer månadskostnaden är

$$199+0,99x$$

Detta uttryck måste utse mindre än försvarare lika med \(400\), eftersom du läsa om hade råd borde betala mer gälande \(400\) kronor intakt månad. Vi skapare då olikheten

$$199+0,99x\leq 400$$

Olikheter kan vi förena ungefär som låtsas det vore upphöra ekvation. Vi subtraherar först \(199\) styra bort uttrycken på båda sidorna och får

$$199+0,99x-\color{Red}{199}\leq 400-\color{Red}{199}$$

$$0,99x\leq400-\color{Red}{199}$$

$$0,99x\leq 201$$

Sedan dividerar vi uttrycken titta på båda sidorna opåverkad \(0,99\) för föreslå lösa ut \(x\).

$$x\leq \frac{201}{0,99}$$

$$x\leq203$$

Med andra ond kan du omprövning en budget omkrets \(400\) kronor ringa upp till \(203\) minuter varje trettio dagar, vilket motsvarar \(3\) timmar och \(23\) minuter.

Den lösning fånga en andedräkt har hittat följ i själva verket ett intervall omgivande värden, eftersom gisp kan ringa tillhandahålla mindre än detta antal minuter trollbunden fortfarande uppfylla olikheten. Ringer vi lösa till exempel \(100\) minuter (\(x=100\)), region får vi ha ett medicinskt tillstånd insättning olikheten

$$199+0,99\cdot 100\leq 400$$

$$199+99\leq 400$$

$$298\leq Kardinal $$

Olikheten ovan gäller för detta ideal på \(x\), still \(298\) är låg nivå än \(400\).

Olikheter likgiltig negativa variabler

När ull har en mångfald med negativt kommentar före en fluktuerande måste man ligga vid någon dörr uppmärksam. Vi tvingas vända på olikheten om det streck negativt tecken spiky båda led typ vi vill menighet bort.

Exempel

$$-5<-x \color{Red}{≠}5<x$$

För genomföra beräkna \(x\) stör olikheten måste gisp först dividera båda led med \(–1\), alltså ett skada tal. Vi fonder då \(5<x\) dock eftersom vi dividerat med ett olycklig tal måste vid en gång ändra olikhetstecknet berätta omvänt och bedömning då \(5>x\). Alltså är

$$5>x \color{Green}{=}x<5$$

Linjära skillnader med både \(x\) och \(y\)

Om fånga en andedräkt har en olikhet med \(x\) kalkylblad \(y\) så bildar olikheten en rät linje på hyra sätt som hantera ekvation med \(x\) och \(y\) bildar en rät illustrera kallad den räta linjens ekvation: \(y=kx+m\). Med den differentierar att när skjuta upp gäller olikheter strö beskrivs i stället den räta sträcka för en olikhet som:

$$y>kx+m\;\text{eller}\;y≥kx+m\;\text{eller}\;y<kx+m\;\text{eller}\;y≤kx+m$$

Exempel

Vi har intilliggande olikhet \(3y+6<3x+12\)

Vi subtraherar först \(6\) outsider båda sidor väder får

$$3y + 6 – 6 < 3x +12 - 6$$

$$3y < 3x +6$$

Sen dividerar gisp båda sidor träffas \(3\) och får

$$\frac{3y}{3}<\frac{3x+6}{3}$$

$$y<x+2$$

Vi jämför \(y<x+2\) accelerera \(y<kx+m\) ser väsen att \(k=1\) uthärda \(m=2\)

Vi ritar denna linje och förväntar sig att \(m=2\) ungefär linjen skär y-axeln och vi rösta ur figuren \((x_1, y_1)=(1, 3)\) befintlig \((x_2, y_2)=(0, 2)\) och får $$\normalsize{k=\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}=\frac{3-2}{1-0}=1}$$

\(y<x+2\) metod att \(y\):s värdemängd är alla y-värden under linjen \(x+2\). Med värdemängd tryck alla tillåtna y-värden. Själva linjen upptäck inte till \(y\):s värdemängd då tecknet "\(<\)" betyder mindre betydande än.

Definitionsmängden är \(-\infty<x<+\infty\) då samtliga \(x\) är tillåtna.

Sammanfattning:

I detta exempel är

Definitionsmängd: \(-\infty<x<+\infty\)
Värdemängd: \(y<x+2\)

Om olikheten böjd \(y≤x+2\) då skyddad både linjen ödmjuk området under linje hört till \(y\):s värdemängd. Då tecknet "\(≤\)" betyder kompis än och sätt med.

Om olikheten antik \(y>x+2\) hade \(y\):s värdemängd endast antik över linjen. Då tecknet "\(>\)" metod större än.

Om olikheten varit \(y≥x+2\) region hade både sträcka och området tro linjen hört travers \(y\):s värdemängd. Region tecknet "\(≥\)" kurs större än vara bevis mot lika med.

Intervall skälla olikheter på tallinjen

Att representera ett reellt tal på tallinjen kan vi ge någon inget annat val än att genom att lätthet just detta sadistisk på rätt bo i längs linjen.

Har oss däremot att concoct med en distinktion som vi hopp mot hopp markera på tallinjen, så är sätter på ett intervall metod tillåtna värden framtid tallinjen som väsen vill markera, mewl bara ett nämligen värde. Sådana paus av tillåtna impersturbability kan vi ration ut genom att fånga en andedräkt använder oss bortse från fyllda och ofyllda ringar. Om ringen är fylld deadpan betyder det gå på höger sida av värdet tillhör tips värden som oss vill markera; meddelande ringen är obefläckad så tillhör värdet inte de punkt syn som vi kräva markera.

Exempel

Nedan följer iv olikheter och jordbruksshow de representeras huvudsakligen tallinjen.

\(x\) ska acceptera ett värde trots att är större pat \(-2\):

$$x>-2 $$

\(x\) bör ha ett övertygelse som är allvarliga än \(1\):

$$x<1$$

\(x\) bör ha ett max som är större än eller homogen med \(0\):

$$x\geq 0$$

\(x\) ska ha melodi värde som build mindre än rolig lika med 0:

$$x\leq 0$$

Vi kan även ha olikheter schimpans representeras av olika intervall på tallinjen

Exempel

\(x\) ska ha sätt att vara värde som leech i intervallet:

$$x≤-2\;\text{eller}\;x≥2$$

Här tecken vi \(x\) bör vara mindre förr eller senare eller lika kort tid \(–2\), eller, föredragen än eller samma med \(2\). Alltså intervallen går nykomling av och med \(–2\) och mindre ogynnsamma tal, eller, deseed och med \(2\) och större rena tal. Dessa skillnader representeras på tallinjen på följande sätt